Skip to content

7.5 Pravděpodobnostní prostor

Zavedení pojmu pravděpodobnost

Definice 7.2 (Diskrétní pravděpodobnostní prostor)

Diskrétní pravděpodobnostní prostor

Diskrétní pravděpodobnostní prostor je dvojice (\(\Omega\), \(\mathbf{P}\)), kde

  • \(\Omega\) je konečná nebo spočetně nekonečná množina elementárních jevů.
  • \(\mathbf{P} : \Omega \rightarrow [0, 1]\) je funkce, která elementárním jevům přiřazuje jejich pravděpodobnosti taková, že součet pravděpodobností všech elementárních jevů je roven \(1\), čili \(\sum_{\omega \in \Omega}{\mathbf{P}(\omega) = 1}\)

Definice 7.3 (Jev)

Jev

  • Jev je nějaká množina \(A \subseteq \Omega\) elementárních jevů.
  • Pravděpodobnost jevu \(A\) je: \(\sum_{\omega \in A}{\mathcal{\mathbf{P}}(\omega)}\)

Základní vlastnosti pravděpodobnosti

Definice 7.4 (Nezávislost jevů)

Nezávislost jevů

Dva jevy \(A, B\) nazveme nezávislé, pokud:

\[ \mathbf{P}(A \cap B) = \mathbf{P}(A) \cdot \mathbf{P}(B) \]

Definice 7.5 (Opačný jev)

Opačný jev

Jev \(\overline{A} = \Omega \setminus A\) se nazývá jev opačný k jevu \(A\)

Pozorování

\(\text{1.}\) Pro každé dva jevy \(A, B\) platí:

\[ \mathbf{P}(A \cup B) = \mathbf{P}(A) + \mathbf{P}(B) − \mathbf{P}(A \cap B) \]

\(\text{2.}\) Pro každý jev \(A\) platí:

\[ \mathbf{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbf{P}(A) \]

Náhodná veličina

Definice 7.6 (Diskrétní náhodná veličina)

Diskrétní náhodná veličina

Nechť \((\Omega, \mathbf{P})\) je diskrétní pravděpodobnostní prostor. Pak diskrétní náhodná veličina je funkce \(X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}\)

  • Diskrétní náhodná veličina tedy přiřazuje každému elementárnímu jevu \(ω_{i} \in \Omega\) nějakou číselnou hodnotu \(x_{i} = X(ω_{i})\) a může nabývat pouze konečný nebo spočetně nekonečný počet hodnot \(\{x_{1}, x_{2}, . . .\}\)
  • Náhodná veličina se také někdy nazývá náhodná proměnná (random variable)

Definice 7.7 (Střední hodnota náhodné veličiny)

Střední hodnota náhodné veličiny

Střední hodnota \(\mathbf{E}[X]\) náhodné veličiny \(X\) je průměr všech hodnot veličiny \(X\) vážený pravděpodobnostmi příslušných elementárních jevů, tedy:

\[ \sum_{\omega \in \Omega}{X(\omega) \cdot \mathbf{P}(\omega)} = \sum_{x_{i}} x_{i} \cdot \mathbf{P}[X = x_{i}] \]

Tato řada musí konvergovat absolutně, jinak střední hodnotu nezavádíme.

Věta 7.2 (O linearitě střední hodnoty)

Věta O linearitě střední hodnoty

Nechť \(\alpha\) a \(\beta\) jsou reálná čísla a nechť \(X\) a \(Y\) jsou náhodné veličiny, potom:

\[ \mathbf{E}[\alpha X + \beta Y] = \alpha \mathbf{E}[X] + \beta \mathbf{E}[Y] \]
Důkaz věty 7.2

Buď \((\Omega, \mathbf{P})\) Diskrétní pravděpodobnostní prostor, potom:

\[ \begin{align} \mathbf{E}[\alpha X + \beta Y] & = \sum_{\omega \in \Omega}{(\alpha X + \beta Y)(\omega) \cdot \mathbf{P}(\omega)} = \\ & = \sum_{\omega \in \Omega}{(\alpha \cdot X (\omega) + \beta \cdot Y (\omega)) \cdot \mathbf{P}(\omega)} = \\ & = \sum_{\omega \in \Omega}{\alpha \cdot X (\omega) \cdot \mathbf{P}(\omega)} + \sum_{\omega \in \Omega}{\beta \cdot Y (\omega) \cdot \mathbf{P}(\omega)} = \\ & = \alpha \cdot \sum_{\omega \in \Omega}{X (\omega) \cdot \mathbf{P}(\omega)} + \beta \cdot \sum_{\omega \in \Omega}{Y (\omega) \cdot \mathbf{P}(\omega)} = \\ & = \alpha \cdot \mathbf{E}[X] + \beta \cdot \mathbf{E}[Y] & \square \end{align} \]

Věta 7.3 (O opakování nezávislých pokusů)

Věta O opakování nezávislých pokusů

Uvažujme sérii nezávislých pokusů, ve kterých sledujeme, zda nastal nějaký jev \(J\). Pravděpodobnost, že jev \(J\) nastane, je v každém pokusu stále stejná a rovna \(p\). Definujme náhodnou veličinu \(T\) jako pořadí pokusu, ve kterém jev \(J\) nastal poprvé, pak:

\[ \mathbf{E}[T] = \frac{1}{p} \]